Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點M在橢圓上，且直線MA，MB的斜率之積為-

1

4

．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若點M又在以線段F₁F₂為直徑的圓上，且△MAB的面積為

2 3

3

，
求橢圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）A（-a，0），B（a，0），設(shè)M（x₀，y₀），由MA，MB的斜率之積為-

1

4

，得到a²=4b²．由此能注出橢圓的離心率．
（2）設(shè)M（x₀，y₀），由已知條件推導(dǎo)出x02+4y02=a2，x02+y02=

3

4

a2，y02=

4

3a2

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，
∴A（-a，0），B（a，0），
設(shè)M（x₀，y₀），則

x02

a2

+

y02

b2

=1．
∴kMA•kMB=

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=

y02

x02-a2

=

b2(1- x02 a2 )

x02-a2

=-

b2

a2

，…（4分）
∵M(jìn)A，MB的斜率之積為-

1

4

，∴a²=4b²．
∵a²=b²+c²，∴a²=4（a²-c²）．∴e2=

3

4

，
∴橢圓的離心率e=

3

2

．…（6分）
（2）設(shè)M（x₀，y₀），則

x02

a2

+

y02

b2

=1．
由（1）知b2=

1

4

a2，∴

x02

a2

+

4y02

a2

=1，
即x02+4y02=a2．①…（8分）
∵點M又在以線段F₁F₂為直徑的圓上，∴x02+y02=c2，
∵c2=

3

4

a2，∴x02+y02=

3

4

a2．②…（10分）
又∵S△MAB=

1

2

•2a•|y0| =a|y0| =

2 3

3

，
∴y02=

4

3a2

．③…（12分）
由①，②，③，解得a²=4．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．…（14分）

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．