Question

現(xiàn)有下列命題：
①設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，若a²-b²=1，則a-b＜1；
②已知的最小值為16；
③數(shù)列；
④設(shè)函數(shù)，則關(guān)于x的方程f²（x）+2f（x）=0有4個(gè)解．
⑤若，則siny-cos²x的最大值是．
其中的真命題有    ．（寫出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

【答案】分析：①將a²-b²=1，分解變形為（a+1）（a-1）=b²，即可證明a-1＜b，即a-b＜1；
②先利用基本不等式求得2b（a-b）范圍，進(jìn)而代入原式，進(jìn)一步利用基本不等式求得問題答案．
③求數(shù)列的最大值，可通過做差或做商比較法判斷數(shù)列的單調(diào)性處理．
④題中原方程f²（x）+2f（x）=0有多少個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即要求對(duì)應(yīng)于f（x）=0和f（x）=-2有幾個(gè)不同實(shí)數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖：由圖可知，當(dāng)f（x）=0時(shí)，它有三個(gè)根，當(dāng)f（x）=-2時(shí)，它有二個(gè)根．故關(guān)于x的方程f²（x）+2f（x）=0有且只有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解．
⑤由題意得siny=-sinx，且-1≤-sinx≤1，得到sinx的取值范圍，把所求的式子配方利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值．
解答：解：①若a²-b²=1，則a²-1=b²，即（a+1）（a-1）=b²，
∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，①正確；
②：∵2b（a-2b）≤（）²=，
∴a²+≥a²+≥16．
當(dāng)且僅當(dāng)2b=a-2b時(shí)取等號(hào)．②正確；
③：a_n=n（n+4）（ ）ⁿ
則 ==×≥1
則2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n²≤10，所以n＜4，
即n＜4時(shí)，a_n+1＞a_n，
當(dāng)n≥4時(shí)，a_n+1＜a_n，
所以a₄最大．③正確；
④：∵題中原方程f²（x）+2f（x）=0有幾個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
∴即要求對(duì)應(yīng)于f（x）=0和f（x）=-2有幾個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
故先根據(jù)題意作出f（x）的簡圖，如圖，
由圖可知，當(dāng)f（x）=0時(shí)，它有三個(gè)根，當(dāng)f（x）=-2時(shí)，它有二個(gè)根．關(guān)于x的方程f²（x）+2f（x）=0有5個(gè)解．④不正確；
⑤：∵sinx+siny=，∴siny=-sinx，
∵-1≤-sinx≤1，∴-≤sinx≤1，
∴siny-cos²x=-sinx-（1-sin²x） 
=（sinx-）2-，∴sinx=- 時(shí)，siny-cos²x的最大值為（--）2-=，⑤不正確．
故答案為：①②③．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的有界性，二次函數(shù)的性質(zhì)等等．