Question

已知△ABC的三邊長為有理數(shù)。
 （1）求證：cosA是有理數(shù)；
 （2）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。

Answer 1

解：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知cosA=是有理數(shù)；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明cosnA和sinA·sinnA都是有理數(shù)
①當(dāng)n=1時(shí)，由（I）知cosA是有理數(shù)，從而有sinA·sin A=1-cos2A也是有理數(shù)
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，coskA和sinA·sinkA都是有理數(shù)
當(dāng)n=k+1時(shí)，由cos（k+1）A=cosA·coskA-sinA·sinkA
sin A·sin（k+1）A=sin A·（sin A·coskA+cosA·sinkA）=（sinA·sin A）·coskA+（sinA·sinkA）·cosA，及①和歸納假設(shè)，知cos（k+1）A與sin A·sin（k+l）A都是有理數(shù)
即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立。
綜合①、②可知，對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。