【題目】無窮數列 ,若存在正整數,使得該數列由個互不相同的實數組成,且對于任意的正整數,中至少有一個等于,則稱數列具有性質.集合.
(1)若,,判斷數列是否具有性質;
(2)數列具有性質,且,求的值;
(3)數列具有性質,對于中的任意元素,為第個滿足的項,記 ,證明:“數列具有性質”的充要條件為“數列是周期為的周期數列,且每個周期均包含個不同實數”.
【答案】(1)具有;(2)2;(3)答案見解析.
【解析】試題分析:
(1)由題意可知是周期為2的周期數列,對于任意的正整數,,滿足性質的條件,故數列具有性質.
(2)由條件可知,考慮后面連續(xù)三項,由反證法可知.同理可得.
(3)充分性:由數列是周期為的周期數列,每個周期均包含中個不同元素.則由周期性得,于是數列為常數列,顯然滿足性質.
必要性:取足夠大的使包含中所有個互不相同的元素,考慮后的連續(xù)項,由反證法可知中任意元素,必等于中的某一個,再由數列性質中的條件得,,則數列為常數列,為常數列,據此可得數列是周期為的周期數列,且每個周期均包含個不同實數.
試題解析:
(1)因為,,是由2個不同元素組成的無窮數列,且是周期為2的周期數列,故,是周期為2的周期數列,對于任意的正整數,,滿足性質的條件,故數列具有性質.
(2).由條件可知,考慮后面連續(xù)三項,若,
由及性質知中必有一數等于2,
于是中有兩項為2,故必有1或3不在其中,
不妨設為,考慮中最后一個等于的項,
則該項的后三項均不等于,故不滿足性質中條件,矛盾,
于是.同理.
(3)充分性:由數列是周期為的周期數列,每個周期均包含中個不同元素.
對于中的任意元素,為第個滿足的項,
故由周期性得,
于是,數列為常數列,顯然滿足性質.
必要性:取足夠大的使包含中所有個互不相同的元素,
考慮后的連續(xù)項,
對于中任意元素,必等于中的某一個,
否則考慮中最后一個等于的項,該項不滿足性質中條件,矛盾.
由的任意性知這個元素恰好等于中個互不相同的元素,
再由數列性質中的條件得,,
于是對于中的任意元素,存在,有 ,
即數列為常數列,
而數列滿足性質,故為常數列,
從而是周期數列,故數列是周期為的周期數列,
且每個周期均包含個不同實數.
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【題目】在研究塞卡病毒(Zika virus)某種疫苗的過程中,為了研究小白鼠連續(xù)接種該種疫苗后出現(xiàn)癥狀的情況,做接種試驗,試驗設計每天接種一次,連續(xù)接種3天為一個接種周期.已知小白鼠接種后當天出現(xiàn)癥狀的概率為,假設每次接種后當天是否出現(xiàn)癥狀與上次接種無關.
(1)若出現(xiàn)癥狀即停止試驗,求試驗至多持續(xù)一個接種周期的概率;
(2)若在一個接種周期內出現(xiàn)2次貨3次癥狀,則這個接種周期結束后終止試驗,試驗至多持續(xù)3個周期,設接種試驗持續(xù)的接種周期數為,求的分布列及數學期望.
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【題目】某金店用一桿不準確的天平(兩邊臂不等長)稱黃金,某顧客要購買黃金,售貨員先將的砝碼放在左盤,將黃金放于右盤使之平衡后給顧客;然后又將的砝碼放入右盤,將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客,則顧客實際所得黃金( 。
A. 大于B. 小于C. 大于等于D. 小于等于
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【題目】20世紀30年代,里克特(C.F.Richter)制定了一種表明地震能量大小的尺度,就是使用測震儀地震能量的等級,地震能量越大,測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大,這就是我們常說的里氏震級M,其計算公式為其中,A是被測量地震的最大振幅,是“標準地震”的振幅(使用標準地震振幅是為了修正測震儀距實際的距離造成的偏差),眾所周知,5級地震已經比較明顯,計算8級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的______倍.
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【題目】某校為了解學生對食堂伙食的滿意程度,組織學生給食堂打分(分數為整數,滿分100分),從中隨機抽取一個容量為的樣本,發(fā)現(xiàn)所有數據均在內.現(xiàn)將這些分數分成以下組:,,,,,,并畫出了樣本的頻率分布直方圖,部分圖形如圖所示.觀察圖形,回答下列問題:
(1)算出第三組的頻數,并補全頻率分布直方圖;
(2)請根據頻率分布直方圖,估計樣本的眾數和平均數,
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【題目】某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜.過去50周的資料顯示,該地周光照量(小時)都在30小時以上,其中不足50小時的周數有5周,不低于50小時且不超過70小時的周數有35周,超過70小時的周數有10周.根據統(tǒng)計,該基地的西紅柿增加量(百斤)與使用某種液體肥料(千克)之間對應數據為如圖所示的折線圖.
(1)依據數據的折線圖,是否可用線性回歸模型擬合與的關系?請計算相關系數并加以說明(精確到0.01);(若,則線性相關程度很高,可用線性回歸模型擬合)
(2)蔬菜大棚對光照要求較大,某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀,但每周光照控制儀最多可運行臺數受周光照量限制,并有如表關系:
若某臺光照控制儀運行,則該臺光照控制儀周利潤為3000元;若某臺光照控制儀未運行,則該臺光照控制儀周虧損1000元.以過去50周的周光照量的頻率作為周光照量發(fā)生的概率,商家欲使周總利潤的均值達到最大,應安裝光照控制儀多少臺?
附:相關系數公式,參考數據,.
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【題目】設函數的定義域為,若存在閉區(qū)間,使得函數滿足:(1)在上是單調函數;(2)在上的值域是,則稱區(qū)間是函數的“和諧區(qū)間”,下列結論錯誤的是( )
A.函數存在“和諧區(qū)間”
B.函數不存在“和諧區(qū)間”
C.函數存在“和諧區(qū)間”
D.函數(,)不存在“和諧區(qū)間”
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