Question

（本小題滿10分）注意：第（3）小題平行班學(xué)生不必做，特保班學(xué)生必須做。對(duì)于函數(shù)，若存在x₀∈R，使成立，則稱x₀為的不動(dòng)點(diǎn)。已知函數(shù)（a≠0）。

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）（特保班做）　在（2）的條件下，若圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的的最小值。

 

Answer 1

【答案】

（1）3和－1；

（2）

（3）b的最小值為－。

【解析】（1）由題得：，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052106395839063840/SYS201205210641514843535720_DA.files/image004.png">為不動(dòng)點(diǎn)，

因此有，即

所以或，即3和－1為的不動(dòng)點(diǎn)。

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052106395839063840/SYS201205210641514843535720_DA.files/image009.png">恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，

∴　，

即　（※）恒有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

由題設(shè)恒成立，

即對(duì)于任意b∈R，有恒成立，

所以有　，　

∴　　。

（3）由（※）式得，由題得E是A、B的中點(diǎn)，且

∴　，則E（），

∴　　－，　　∴　b=－，　

又由（2）知　0＜a＜1，　　令

∴　在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增

∴　當(dāng)時(shí)，　　

即　當(dāng)時(shí)，　b取得最小值，其最小值為－。