Question

f(x)=

3

sin3ωx+3cos3ωx（ω＞0，x∈R）
（1）當ω=1時，求f（x）的最大值和最小值并求出此時的x值；
（2）f（x）在（0，

π

3

）上是增函數(shù)，求ω最大值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的正弦可將f（x）=

3

sin3ωx+3cos3ωx轉(zhuǎn)化為f（x）=2

3

sin（3ωx+

π

3

），從而可求當ω=1時，f（x）的最大值和最小值及對應的x值；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[

2kπ

3ω

-

5π

18ω

，

2kπ

3ω

+

π

18ω

]，利用f（x）在（0，

π

3

）上是增函數(shù)即可求得ω最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

sin3ωx+3cos3ωx
=2

3

（

1

2

sin3ωx+

3

2

cos3ωx）
=2

3

sin（3ωx+

π

3

），
∴當ω=1時，f（x）=2

3

sin（3x+

π

3

），
∴當3x+

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=

2kπ

3

-

5π

18

（k∈Z）時，f（x）的最小值為-2

3

；
當3x+

π

3

=2kπ+

π

2

，即x=

2kπ

3

+

π

18

（k∈Z）時，f（x）的最大值為2

3

；
（2）∵f（x）=2

3

sin（3ωx+

π

3

），ω＞0，
∴由2kπ-

π

2

≤3ωx+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得，

2kπ

3ω

-

5π

18ω

≤x≤

2kπ

3ω

+

π

18ω

（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[

2kπ

3ω

-

5π

18ω

，

2kπ

3ω

+

π

18ω

]；
又f（x）再（0，

π

3

）上單調(diào)遞增，
∴

π

18ω

≥

π

3

，又ω＞0，
∴ω≤

1

6

，
∴ω_max=

1

6

．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，突出考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．