Question

已知函數(shù)f(x)=

3

a

x3-x(a＞0)在點(diǎn)（x₁，f（x₁））處的切線在x軸上的截距為x₂，則當(dāng)x1＞

a 3

時(shí)，

x2

x1

的取值范圍是

(

2

3

，1)

．

Answer 1

分析：已知函數(shù)f(x)=

3

a

x3-x(a＞0)，對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，求出f（x）在x=x₁處的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程，求出截距x₂，再利用不等式進(jìn)行求解；

解答：解：∵已知函數(shù)f(x)=

3

a

x3-x(a＞0)，
∴f′（x）=

9

a

x2- 1，a＞0，
∵在點(diǎn)（x₁，f（x₁））處的切線，
∴切線斜率為：k=f′（x）|_x=x1=f′（x₁）=

9

a

x

2 1

-1，
切線方程：y-f（x₁）=f′（x₁）（x-x₁），
∴令y=0，得x₂=x₁-

f(x1)

k

=x₁-

3 a x 3 1 -x1

9 a x 2 1 -1

=

6 a x 3 1

9 a x 2 1 -1

，
∴y=

x2

x1

=

6 a x 2 1

9 a x 2 1 -1

=

6 a

9 a - 1 x 2 1

，當(dāng)x1＞

a 3

時(shí)，y為減函數(shù)，
∴y＜f（

a 3

）=1，
又∵y=

x2

x1

=

6 a x 2 1

9 a x 2 1 -1

=

6 a

9 a - 1 x 2 1

＞

6 a

9 a

=

2

3

，
∴

2

3

＜

x2

x1

＜1，
故答案為：(

2

3

，1)；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，主要利用了不等式的放縮，還間接考查函數(shù)的單調(diào)性問題，此題是一道好題；