Question

設O為坐標原點，拋物線y²=2x與過焦點的直線交于A、B兩點，則k_OA•k_OB=

 

．

Answer 1

分析：先看當直線與x軸不垂直時設出直線方程代入拋物線方程消去y，設出A，B點坐標根據(jù)韋達定理求得y₁•y₂的值，進而代入k_OA•k_OB中求得答案；再看直線與x軸垂直時把x=

1

2

代入拋物線方程求得A，B點的坐標代入兩直線的斜率的乘積答案可得．

解答：解：當直線與x軸不垂直時設直線l：y=k（x-

1

2

），
代入y²=2x，得：ky²-2y-1=0
設A（

y 2 1

2

，y₁），B（

y 2 1

2

x₂，y₂）
∴y₁•y₂=-1
∴k_OA•k_OB=

y1

y 2 1 2

•

y2

y 2 2 2

=

4

y1 y2

=-4
當直線與x軸垂直時，x=

1

2

，y=±1
∴k_OA•k_OB=

1

1 2

×

-1

1 2

=-4
故答案為-4

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系，當直線與圓錐曲線相交時涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求．