已知數(shù)列{an}滿足
1
an
-an=2
n
，且an＞0．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：a1+a2+…+an＜
n
；
（3）數(shù)列{an}是否存在最大項(xiàng)？若存在最大項(xiàng)，求出該項(xiàng)；若不存在，說明理由．
分析：（1）根據(jù)題中已知條件逐步化簡，然后根據(jù)an＞0可以求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）中數(shù)列an的通項(xiàng)公式先求出前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后利用不等式的性質(zhì)便可證明
n
i=1
ai＜
n
；
（3）由前面求得的an的通項(xiàng)公式便可得出數(shù)列an為遞減數(shù)列，故可知當(dāng)n=1時(shí)數(shù)列{an}存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為a1．
解答：解：（1）由
1
an
-an=2
n
得an2+2
n
an-1=0
得an=
-2
n
±
4n+4
2
=-
n
±
n+1
，
∵an＞0
∴an=
n+1
-
n

（2）∵an=
n+1
-
n
，
n
i=1
ai=a1+a2++an=(
2
-1)+(
3
-
2
)++(
n+1
-
n
)=
n+1
-1
∵
n+1
-1-
n
=
1
n+1
+
n
-1＜0
∴
n
i=1
ai＜
n

（3）∵an=
n+1
-
n

∴
an+1
an
=
n+2
-
n+1
n+1
-
n

=
(
n+2
-
n+1
)(
n+2
+
n+1
)(
n+1
+
n
)
(
n+2
+
n+1
)(
n+1
+
n
)(
n+1
-
n
)

=
n+1
+
n
n+2
+
n+1

∵n∈N*，∴
n+1
+
n
＜
n+2
+
n+1

∴
an+1
an
＜1，
∵an＞0，
∴an+1＜an，n∈N*即a1＞a2＞a3＞…＞an＞an+1
∴數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第一項(xiàng)a1=
2
-1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的遞推公式以及數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列和函數(shù)的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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