Question

各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}，a₁=1，a₂a₄=16，單調(diào)增數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，a₄=b₃，且6S_n=b_n²+3b_n+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令（n∈N^*），求使得c_n＞1的所有n的值，并說明理由．
（Ⅲ） 證明{a_n}中任意三項不可能構(gòu)成等差數(shù)列．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a₂a₄=a₁²q⁴=q⁴=16，q²=4，∵a_n＞0，∴q=2，∴a_n=2^n-1
∴b₃=a₄=8．∵6S_n=b_n²+3b_n+2�、�
當n≥2時，6S_n-1=b_n-1²+3b_n-1+2 ②
①-②得6b_n=b_n²-b_n-1²+3b_n-3b_n-1即（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1）=3（b_n+b_n-1）
∵b_n＞0∴b_n-b_n-1=3，∴{b_n}是公差為3的等差數(shù)列．
當n=1時，6b₁=b₁²+3b₁+2，解得b₁=1或b₁=2，
當b₁=1時，b_n=3n-2，此時b₃=7，與b₃=8矛盾；當b₁=3時b_n=3n-1，此時此時b₃=8=a₄，∴b_n=3n-1．
（Ⅱ）∵b_n=3n-1，∴=，∴c₁=2＞1，c₂=＞1，c₃=2＞1，＞1，＜1，
下面證明當n≥5時，c_n＜1
事實上，當n≥5時，=＜0
即c_n+1＜c_n，∵＜1∴當n≥5時，C_n＜1，
故滿足條件C_n＞1的所有n的值為1，2，3，4．
（Ⅲ）假設(shè){a_n}中存在三項p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N*）使a_p，a_q，a_r構(gòu)成等差數(shù)列，
∴2a_q=a_p+a_r，即2•2^q-1=2^p-1+2^r-1．∴2^q-p+1=1+2^r-p．
因左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，矛盾．
∴假設(shè)不成立，故不存在任意三項能構(gòu)成等差數(shù)列．
分析：（Ⅰ）由a₂a₄=a₁²q⁴=q⁴=16，q²=4，知a_n=2^n-1，b₃=a₄=8．由6S_n=b_n²+3b_n+2，知（b_n+b_n-1）（b_n-b_n-1）=3（b_n+b_n-1），由此能夠求出b_n=3n-1．
（Ⅱ）由b_n=3n-1，知=，由此能求出滿足條件C_n＞1的所有n的值為1，2，3，4．
（Ⅲ）假設(shè){a_n}中存在三項p，q，r （p＜q＜r，p，q，R∈N*）使a_p，a_q，a_r構(gòu)成等差數(shù)列，所以2•2^q-1=2^p-1+2^r-1．2^q-p+1=1+2^r-p．因左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故假設(shè)不成立，即不存在任意三項能構(gòu)成等差數(shù)列．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．