【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.
(1)設,判斷在上是否為有界函數(shù),若是,請說明理由,并寫出的所有上界的集合;若不是,也請說明理由;
(2)若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)是,理由見解析,(2)
【解析】
(1)根據(jù)的單調(diào)性求得在區(qū)間上的取值范圍,由此得出,進而判斷出在在上是有界函數(shù),并由此求得所有上屆的集合.
(2)根據(jù)的上界得到,令進行換元、分離常數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為,然后利用導數(shù)求得在區(qū)間上,函數(shù)的最大值以及函數(shù)的最小值,由此求得實數(shù)的取值范圍.
(1),,則在上是增函數(shù),故,即,
故,所以是有界函數(shù).
所以,上界滿足,所有上界的集合是.
(2)由題意,對恒成立,
即,
令,則,原不等式變?yōu)?/span>,
故, 故,
令,當時,,即函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),故.
令,當時,,即函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),故.
綜上,實數(shù)的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)列的前n項組成集合,從集合中任取個數(shù),其所有可能的k個數(shù)的乘積的和為(若只取一個數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),例如:對于數(shù)列,當時,時,;
(1)若集合,求當時,的值;
(2)若集合,證明:時集合的與時集合的(為了以示區(qū)別,用表示)有關系式,其中;
(3)對于(2)中集合.定義,求(用n表示).
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過極點的圓.已知曲線上的點對應的參數(shù),射線與曲線交于點
(1)求曲線、的直角坐標方程;
(2)若點在曲線上的兩個點且,求的值.
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【題目】設數(shù)據(jù)是鄭州市普通職工個人的年收入,若這個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為,平均數(shù)為,方差為,如果再加上世界首富的年收入,則這個數(shù)據(jù)中,下列說法正確的是( )
A.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)一定變大,方差可能不變
B.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差變大
C.年收入平均數(shù)大大增大,中位數(shù)可能不變,方差也不變
D.年收入平均數(shù)可能不變,中位數(shù)可能不變,方差可能不變
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【題目】在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間,有專業(yè)機構認為該事件在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志是“連續(xù)10日,每天新增疑似病例不超過7人”.過去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下:
甲地:總體平均數(shù)為3,中位數(shù)為4;
乙地:總體平均數(shù)為1,總體方差大于0;
丙地:總體平均數(shù)為2,總體方差為3;
丁地:中位數(shù)為2,眾數(shù)為3;
則甲、乙、兩、丁四地中,一定沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是( )
A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)的導函數(shù)在上有三個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C:的左、右焦點分別是,點,若的內(nèi)切圓的半徑與外接圓的半徑的比是.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點M是橢圓C的左頂點,P、Q是橢圓上異于左、右頂點的兩點,設直線MP、MQ的斜率分別為、,若,試問直線PQ是否過定點?若過定點,求該定點坐標;若不過定點,請說明理由.
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【題目】某校決定為本校上學所需時間不少于30分鐘的學生提供校車接送服務.為了解學生上學所需時間,從全校600名學生中抽取50人統(tǒng)計上學所需時間(單位:分鐘),將600人隨機編號為001,002,…,600,抽取的50名學生上學所需時間均不超過60分鐘,將上學所需時間按如下方式分成六組,第一組上學所需時間在[0,10),第二組上學所需時間在[10,20)…,第六組上學所需時間在[50,60],得到各組人數(shù)的頻率分布直方圖,如下圖
(1)若抽取的50個樣本是用系統(tǒng)抽樣的方法得到,且第一個抽取的號碼為006,則第五個抽取的號碼是多少?
(2)若從50個樣本中屬于第四組和第六組的所有人中隨機抽取2人,設他們上學所需時間分別為a、b,求滿足的事件的概率;
(3)設學校配備的校車每輛可搭載40名學生,請根據(jù)抽樣的結果估計全校應有多少輛這樣的校車?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,為的導函數(shù),設,且恒成立.
(1)求的取值范圍;
(2)設函數(shù)的零點為,函數(shù)的極小值點為,求證:.
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