Question

（1）自圓O外一點(diǎn)P引切線與圓切于點(diǎn)A，M為PA中點(diǎn)，過(guò)M引割線交圓于B，C兩點(diǎn)．求證：∠MCP=∠MPB．
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），經(jīng)矩陣M=

1 0 k 1

表示的變換作用后，四邊形ABCD變?yōu)樗倪呅蜛₁B₁C₁D₁，問(wèn)：四邊形ABCD與四邊形A₁B₁C₁D₁的面積是否相等？試證明你的結(jié)論．
（3）已知A是曲線ρ=12sinθ上的動(dòng)點(diǎn)，B是曲線ρ=12cos(θ-

π

6

)上的動(dòng)點(diǎn)，試求AB的最大值．
（4）設(shè)p是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，x，y，z是p到三邊a，b，c的距離，R是△ABC外接圓的半徑，證明

x

+

y

+

z

≤

1

2R

a2+b2+c2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切割線定理，得到AM是MB和MC的比例中項(xiàng)，結(jié)合AM=MP，∠BMP=∠PMC，得△BMP∽△PMC，從而得到對(duì)應(yīng)角相等，命題得證；
（2）四個(gè)頂點(diǎn)A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），經(jīng)矩陣M=

1 0 k 1

表示的變換作用后，四邊形ABCD變?yōu)樗倪呅蜛₁B₁C₁D₁仍為梯形，且上、下底及高都不變，故面積相等；
（3）把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，可得兩曲線分別表示一個(gè)圓，求出兩圓的圓心距，可得兩圓相交，故線段AB長(zhǎng)的最大值等于圓心距加上兩個(gè)圓的半徑；
（4）題中連接P與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，分成的三個(gè)小三角形面積的和等于大三角形，可得ax+by+cz=2S=

abc

2R

，再利用柯西不等式即可得證．

解答：（1）證明：∵AM切圓于點(diǎn)A，∴AM²=MB•MC
又∵M(jìn)為PA中點(diǎn)，AM=MP，∴MP²=MB•MC，∴

PM

BM

=

CM

PM

∵∠BMP=∠PMC，∴△BMP∽△PMC，∴∠MCP=∠MPB．
（2）四個(gè)頂點(diǎn)A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），經(jīng)矩陣M=

1 0 k 1

表示的變換作用后，四邊形ABCD變?yōu)樗倪呅蜛₁B₁C₁D₁頂點(diǎn)坐標(biāo)為A₁（0，1），B₁（2，2k+1），C₁（2，2k+3），D₁（0，2），四邊形A₁B₁C₁D₁仍為梯形，且上、下底及高都不變，故面積相等；
（3）曲線ρ=12sinθ化為直角坐標(biāo)方程為 x²+（y-6）²=36，表示以（0，6）為圓心，以6為半徑的圓．
曲線ρ=12cos(θ-

π

6

)化為直角坐標(biāo)方程為 x²+y²=6

3

x+6y，即 （x-3

3

）²+（y-3）²=36，
表示以（3

3

，3 ）為圓心，以6為半徑的圓．
兩圓的圓心距的平方為 （0-3

3

）²+（6-3）² =36，故兩圓相交，線段AB長(zhǎng)的最大值為6+r+r′=18．
（4）連接P與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，分成的三個(gè)小三角形面積的和等于大三角形，即

1

2

（ax+by+cz）=S，∴ax+by+cz=2S=

abc

2R

∴

x

+

y

+

z

=

ax

×

1 a

+

by

×

1 b

+

cz

×

1 c

≤

( ax )2+( by )2+( cz )2

×[(

1 a

)2+(

1 b

)2+(

1 c

)2]
=

ax+by+cz

×（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=

abc

2R

×

ab+bc+ac

abc

=

ab+bc+ac

2R

≤

1

2R

a2+b2+c2

即

x

+

y

+

z

≤

1

2R

a2+b2+c2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓當(dāng)中的比例線段，以及三角形相似的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，以及兩圓的位置關(guān)系，求出兩圓的圓心距，考查矩陣與變換，考查不等式的證明，綜合性強(qiáng)