Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立．
（Ⅰ）判斷f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并證明．
（Ⅱ）解不等式：f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)
（Ⅲ）若f（x）≤m²-2am+1對所有的a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）在[-1，1]上為奇函數(shù)，結(jié)合a+b≠0時有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立，利用函數(shù)的單調(diào)性定義可證出f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)；
（II）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，化原不等式為-1≤x+

1

2

＜

1

x-1

≤1，解之即得原不等式的解集；
（III）由（I）結(jié)論化簡，可得f（x）≤m²-2am+1對所有的a∈[-1，1]恒成立，即m²-2am≥0對所有的a∈[-1，1]恒成立，利用一次函數(shù)的性質(zhì)并解關于m的二次不等式，即可得到實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I）f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，證明如下：
設x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
在

f(a)+f(b)

a+b

＞0中令a=x₁、b=-x₂，可得

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
又∵f（x）是奇函數(shù)，得f（-x₂）=-f（x₂），
∴

f(x1)-f(-x2)

x1-x2

＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)…（6分）．
（II）∵f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
∴不等式f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)，即-1≤x+

1

2

＜

1

x-1

≤1
解之得x∈[-

3

2

，-1），即為原不等式的解集；
（III）由（I），得f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，且最大值為f（1）=1，
因此，若f（x）≤m²-2am+1對所有的a∈[-1，1]恒成立，
即1≤m²-2am+1對所有的a∈[-1，1]恒成立，得m²-2am≥0對所有的a∈[-1，1]恒成立
∴m²-2m≥0且m²+2m≥0，解之得m≤-2或m≥2或m=0
即滿足條件的實數(shù)m的取值范圍為{m|m≤-2或m≥2或m=0}．

點評：本題給出抽象函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性并依此解關于x的不等式．著重考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及其相互關系等知識，屬于中檔題．