Question

如圖，已知橢圓的右焦點為，點是橢圓上任意一點，圓是以為直徑的圓．
（1）若圓過原點，求圓的方程； 
（2）寫出一個定圓的方程，使得無論點在橢圓的什么位置，該定圓總與圓相切,請寫出你的探究過程．

Answer 1

（1）或；（2）.

試題分析：（1）因為是圓的直徑，所以當(dāng)圓過原點時，一定有，由此可確定點的位置并進一步求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)圓M的半徑為,連結(jié)，顯然有
根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知,
所以，從而找到符合條件的定圓.
解：（1）解法一：因為圓過原點，所以，所以是橢圓的短軸頂點，的坐標(biāo)是或，于是點的坐標(biāo)為或，       
易求圓的半徑為
所以圓的方程為或       6分
解法二：設(shè)，因為圓過原點，所以
所以，所以，所以點
于是點的坐標(biāo)為或，易求圓的半徑
所以圓的方程為或        6分
（2）以原點為圓心，5為半徑的定圓始終與圓相內(nèi)切，定圓的方程為     8分
探究過程為：設(shè)圓的半徑為，定圓的半徑為，
因為，
所以當(dāng)原點為定圓圓心，半徑時，定圓始終與圓相內(nèi)切．  （13分）