Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點E、F、G分別是棱AD、SC、BC的中點．
（1）求證：EF∥平面SAB；
（2）若SB=SC=AB=AC，求證：平面SBC⊥平面SAG；
（3）若SA=SB=SC=AB=AC=2，BC=2

2

求三棱錐D-SAC的體積．

Answer 1

分析：（1）取SB的中點為H，連接FH、AH，kd FH∥BC，并且FH=

1

2

BC，即可得到FH∥EA，并且FH=EA，即四邊形AHFE為平行四邊形，進而得到FE∥AH，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明線面平行．
（2）連接AG，SG，由AB=AC，并且G為BC的中點，可得AG⊥BC，同理可得：SG⊥BC，再結(jié)合線面垂直與面垂直的判定定理即可證明面面垂直．
（3）由題意可得：V_D-SAC=V_S-ACD，即可得到V_S-ACD=V_S-ABC．根據(jù)線段的長度關(guān)系并且在△ABC中結(jié)合勾股定理可得：AC⊥AB，并且AG=

2

，同理可得：SG=

2

，在△AGS中根據(jù)勾股定理可得SG⊥AG，進一步得到SG⊥平面ABC，進而求出三棱錐的體積．

解答：解：（1）證明：取SB的中點為H，連接FH、AH，

因為F、H分別為SC、SB的中點，
所以FH∥BC，并且FH=

1

2

BC，
又因為E為AD的中點，
所以EA∥BC，并且EA=

1

2

BC，
所以FH∥EA，并且FH=EA，
所以四邊形AHFE為平行四邊形，
所以FE∥AH，
又因為AH?平面ABS，EF?平面ABS，
所以EF∥平面SAB．
（2）證明：連接AG，SG，
因為AB=AC，并且G為BC的中點，
所以AG⊥BC，
同理可得：SG⊥BC，
因為AG∩SG=G，AG?平面SAG，SG?平面SAG，
所以BC⊥平面SAG，
又因為BC?平面SBC，
所以平面SBC⊥平面SAG．
（3）由題意可得：V_D-SAC=V_S-ACD，
因為在四棱錐S-ABCD中，并且底面ABCD為平行四邊形，
所以V_S-ACD=V_S-ABC．
因為AB=AC=2，BC=2

2

，
所以在△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：AC⊥AB，并且AG=

2

，
同理可得：SG=

2

，
因為SA=2，
所以在△AGS中，根據(jù)勾股定理可得SG⊥AG．
又由（2）可得SG⊥BC，
所以SG⊥平面ABC．
所以VS-ACD =VS-ABC=

1

3

•S△ABC•SG=

1

3

×

1

2

×2×2×

2

=

2 2

3

，
所以三棱錐D-SAC的體積為

2 2

3

．

點評：本題主要考查線線平行，線面平行與垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練記憶有關(guān)的判定定理、性質(zhì)定理，以及熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征．