Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：，點在直線上，數(shù)列{b_n}滿足：且．
（I）求{a_n}的通項公式；
（II）求證：數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列；
（III）求{b_n}的通項公式；并探求數(shù)列{b_n}的前n和的最小值．

Answer 1

（I）解：點在直線上，
得到（1分）
所以，{a_n}為公差為的等差數(shù)列，（2分）
所以，（3分）
（II）證明：∵b_n-a_n=，
∴=
=
=
=．
∵b₁-a₁=-30，
∴數(shù)列{b_n-a_n}是以-30為首項，為公比的等比數(shù)列．
（III）解：由（II）知，
所以，（8分）
采用分組求和法，可以求數(shù)列{b_n}的前n和（9分）
（10分）
當n=1，2時，，
則T_n遞減，即T₁＞T₂＞T₃，
當n≥3時，，
則T_n遞增，即T₃＜T₄＜T₅＜…，
故T₃=-最�。�
分析：（I）由點在直線上，得到，所以，{a_n}為公差為的等差數(shù)列，由此能求出{a_n}的通項公式．
（II）由b_n-a_n=，知==．且b₁-a₁=-30，由此能夠證明數(shù)列{b_n-a_n}是以-30為首項，為公比的等比數(shù)列．
（III）由（II）知，，所以，，采用分組求和法，可以求數(shù)列{b_n}的前n和，故T₃=-最�。�
點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法和等比數(shù)列的證明，探求數(shù)列{b_n}的前n和的最小值．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．