Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°AB=AC=AA₁=1，點(diǎn)M，N分別為A₁B和B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：MN∥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求異面直線AB與MN所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）連接AB₁、AC₁，利用四邊形A₁B₁BA是正方形和三角形中位線定理即可得出MN∥AC₁．再利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）由（1）可知 MN∥AC₁，故∠BAC₁或其補(bǔ)角為異面直線AB與MN所成角．再利用直三棱柱的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)即可得出．

解答：（1）證明：連接AB₁、AC₁，由已知條件，四邊形A₁B₁BA是正方形，點(diǎn)M也是AB₁的中點(diǎn)，
故有MN∥AC₁．
又∵M(jìn)N?面A₁ACC₁，AC₁⊆面A₁ACC₁，
∴MN∥平面A₁ACC₁．
（2）解：由（1）可知 MN∥AC₁，
故∠BAC₁或其補(bǔ)角為異面直線AB與MN所成角．
由直三棱柱的性質(zhì)可得：AA₁⊥底面ABC，
∴AA₁⊥AB，
又AB⊥AC，AA₁∩AC=A．
∴AB⊥平面A₁ACC₁．
∴BA⊥AC₁．
故∠BAC₁=90°，
即異面直線AB與MN所成角大小為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)和三角形中位線定理、線面平行的判定定理、異面直線所成的角、用直三棱柱的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．