Question

15．對(duì)正整數(shù)n，記f（n）為數(shù)3n²+n+1用十進(jìn)制表示時(shí)各數(shù)位數(shù)字的和，如n=2時(shí)，3n²+n+1=15，從而f（2）=6；n=10時(shí)，3n²+n+1=311，從而f（10）=5．
（1）求f（7），f（8）．
（2）求f（n）的最小值．

Answer 1

分析 （1）代值計(jì)算即可，
（2）f（n）的最小值為3，根據(jù)題意證明即可．

解答 解（1）f（7）=11，f（8）=3．
（2）f（n）的最小值為3．
證明如下：3n²+n+1=n（3n+1）+1，由n與3n+1的奇偶性相反，知n（3n+1）+1是大于3的奇數(shù)，
從而f（n）≠1；                                  
若f（n）=2，則3n²+n+1只能是首位和末位為1，其余數(shù)字為0，即3n²+n+1=10^k+1，
又k=1時(shí)，n不存在，從而k≥2．n（3n+1）=2^k5^k．
由n與3n+1的最大公約數(shù)為1，（若設(shè)n與3n+1有公約數(shù)m，n=pm，3n+1=qm，
其中m，n，p，q∈N^*，可得（q-3p）m=1，只有m=1），
所以n=2^k，3n+1=5^k，但n=2^k，3n+1=5^k，時(shí)n=2^k，3n+1=5^k，所以f（n）≠2
又f（8）=3，所以f（n）的最小值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了十進(jìn)制的問(wèn)題，以及推理證明，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于難題．