Question

已知函數(shù)f（x）=x-sinx
（Ⅰ）若x∈[0，π]，試求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若x∈[0，π]，θ∈[0，π]，求證：

2f(θ)+f(x)

3

≥f(

2θ+x

3

)；
（Ⅲ）若x∈[kπ，（k+1）π]，θ∈（kπ，（k+1）π），k∈z，猜想

2f(θ)+f(x)

3

與f(

2θ+x

3

)； 的大小關(guān)系．（不必證明）

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)f′（x）=1-cosx＞0，從而f（x）為增函數(shù)，故可求f（x）的值域；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g(x)=

2f(θ)+f(x)

3

-f(

2θ+x

3

)，利用導(dǎo)數(shù)等于0得，x=θ，從而可知x∈[0，π]時(shí)，g（x）≥g（θ）=0，故得證；
（Ⅲ）在題設(shè)條件下，同（Ⅱ）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)

2f(θ)+f(x)

3

≥f(

2θ+x

3

)；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)

2f(θ)+f(x)

3

≤f(

2θ+x

3

)．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，f′（x）=1-cosx＞0，
∴f（x）為增函數(shù)
∴f（x）的值域?yàn)閇0，π]
（Ⅱ）設(shè)g(x)=

2f(θ)+f(x)

3

-f(

2θ+x

3

)
∴g/(x)=

1

3

(-cosx+cos

2θ+x

3

)
由導(dǎo)數(shù)等于0得，x=θ
∴x∈（0，θ），g′（x）＜0，x∈（θ，π），g′（x）＞0
∴x∈[0，π]時(shí)，g（x）≥g（θ）=0
∴

2f(θ)+f(x)

3

≥f(

2θ+x

3

)
（Ⅲ）在題設(shè)條件下，同（Ⅱ）當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)

2f(θ)+f(x)

3

≥f(

2θ+x

3

)
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)

2f(θ)+f(x)

3

≤f(

2θ+x

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查構(gòu)造函數(shù)證明不等式，有一定的綜合性．