(選做題)在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計20分.請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(B)(選修4-2:矩陣與變換)
二階矩陣M有特征值λ=8,其對應(yīng)的一個特征向量e=
1
1
,并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(-1,2)變換成點(-2,4),求矩陣M2
(C)(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
已知極坐標(biāo)系的極點在直角坐標(biāo)系的原點,極軸與x軸的正半軸重合,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3,直線l的參數(shù)方程為
x=-
3
t
y=1+t
(t為參數(shù),t∈R).試在曲線C上一點M,使它到直線l的距離最大.
分析:(B)利用矩陣的特征值與特征向量的關(guān)系及矩陣的運算即可求出;
(C)先把極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程化為普通方程,再利用點到直線的距離公式即可求出.
解答:(B)解:設(shè)M=
ab
cd
,則由
a-8b
cd-8
 
1
1
=
0
0
,得
a-8+b=0
c+d-8=0
,
即a+b=8,c+d=8.
ab
cd
-1
2
=
-2
4
,得
-a+2b
-c+2d
=
-2
4

從而-a+2b=-2,-c+2d=4.
由a+b=8,-a+2b=-2,c+d=8,-c+2d=4解得a=6,b=2,c=4,d=4
M=
62
44
M2=
62
44
62
44
=
4420
4024

(C)解:由曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3,
可得C的普通方程是x2+3y2=3,
x2
3
+y2
=1.
由直線l的參數(shù)方程為
x=-
3
t
y=1+t
(t為參數(shù),t∈R)消去參數(shù)td得
直線l的普通方程是x+
3
y-
3
=0.
設(shè)點M的坐標(biāo)是(
3
cosθ,sinθ)
,則點M到直線l的距離是
d=
|
3
cosθ+
3
sinθ-
3
|
2
=
3
|
2
sin(θ+
π
4
)-1|
2

當(dāng)sin(θ+
π
4
)=-1
時,
即θ+
π
4
=2kπ+
2
,k∈Z,解得θ=2kπ+
4
,k∈Zd取得最大值,
此時
3
cosθ=-
6
2
,sinθ=-
2
2
,
綜上,點M的坐標(biāo)是(-
6
2
,-
2
2
)
時,M到直線l的距離最大.
點評:熟練掌握矩陣的特征值與特征向量的關(guān)系及矩陣的運算、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及利用點到直線的距離公式求最值問題是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(選做題)在A,B,C,D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,⊙O的半徑OB垂直于直徑AC,M為AO上一點,BM的延長線交⊙O于N,過
N點的切線交CA的延長線于P.
(1)求證:PM2=PA•PC;
(2)若⊙O的半徑為2
3
,OA=
3
OM,求MN的長.
B.選修4-2:矩陣與變換
曲線x2+4xy+2y2=1在二階矩陣M=
.
1a
b1
.
的作用下變換為曲線x2-2y2=1,求實數(shù)a,b的值;
C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)
,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
y=-1-
3
5
(t為參數(shù)),求直線l被圓C所截得的弦長.
D.選修4-5:不等式選講
設(shè)a,b,c均為正實數(shù).
(1)若a+b+c=1,求a2+b2+c2的最小值;
(2)求證:
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選做題:在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共20分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,PA切⊙O于點A,D為PA的中點,過點D引割線交⊙O于B、C兩點.求證:∠DPB=∠DCP.
B.選修4-2:矩陣與變換
設(shè)M=
.
10
02
.
,N=
.
1
2
0
01
.
,試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程.
C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=
2
cos(θ+
π
4
)
,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
(t為參數(shù)),求直線l被圓C所截得的弦長.
D.選修4-5:不等式選講
解不等式:|2x+1|-|x-4|<2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

 選做題(在A、B、C、D四小題中只能選做兩題,并將選作標(biāo)記用2B鉛筆涂黑,每小題10分,共20分,請在答題指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟).
A、(選修4-1:幾何證明選講)
如圖,BD為⊙O的直徑,AB=AC,AD交BC于E,求證:AB2=AE•AD
B、(選修4-2:矩形與變換)
已知a,b實數(shù),如果矩陣M=
1a
b2
所對應(yīng)的變換將直線3x-y=1變換成x+2y=1,求a,b的值.
C、(選修4-4,:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)
設(shè)M、N分別是曲線ρ+2sinθ=0和ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
上的動點,判斷兩曲線的位置關(guān)系并求M、N間的最小距離.
D、(選修4-5:不等式選講)
設(shè)a,b,c是不完全相等的正數(shù),求證:a+b+c>
ab
+
bc
+
ca

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選做題:在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計20分.請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.選修4-1:幾何證明選講
如圖,AD是∠BAC的平分線,⊙O過點A且與BC邊相切于點D,與AB、AC分別交于E,F(xiàn),求證:EF∥BC.

B.選修4-2:矩陣與變換
已知a,b∈R若矩陣M=
.
-1a
b3
.
所對應(yīng)的變換把直線l:2x-y=3變換為自身,求a,b的值.

C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
將參數(shù)方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
(t為參數(shù))化為普通方程.
D.選修4-5:不等式選講
已知a,b是正數(shù),求證:(a+
1
b
)(2b+
1
2a
)≥
9
2

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