Question

已知函數(shù)f（x）=x²+k
（1）k=-1時(shí)，設(shè)，求h（x）=[f（x）]²-6f（x），x∈[-2，1]的最大值．
（2）若函數(shù)g（x）=

ex

f(x)

，且g（x）在區(qū)間（2，3）上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把k=-1代入f（x）中，確定出f（x）的解析式，設(shè)t=f（x），根據(jù)x的范圍求出f（x）的值域，即得到t的范圍，然后把h（x）中的
f（x）化為t后得到關(guān)于t的二次函數(shù)，根據(jù)t的范圍即可得到y(tǒng)的范圍，即得到y(tǒng)的最大值；
（2）把f（x）的解析式代入g（x）=

ex

f(x)

中，求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)間（x）在區(qū)間（2，3）上不單調(diào)，所以令導(dǎo)函數(shù)等于0得到的方程在區(qū)間（2，3）上有根，且不能有兩個(gè)相等的根，列出關(guān)于k的不等式組，求出不等式組的解集即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)k=-1時(shí)，f（x）=x²-1，又x∈[-2，1]，
故t=f（x）=x²-1∈[-1，3]，
由h（x）=[f（x）]²-6f（x），得y=t²-6t=（t-3）²-9∈[-9，7]，
也即h（x）的最大值為7．此時(shí)x=0；
（2）g(x)=

ex

x2+k

，g′(x)=

ex(x2-2x+k)

(x2+k)2

，
因?yàn)間（x）在區(qū)間（2，3）上不單調(diào)，
故g′(x)=

ex(x2-2x+k)

(x2+k)2

=0，
在區(qū)間（2，3）上有根，且不能有兩個(gè)相等的根．
令g′（x）=0，有x²-2x+k=0，
則

4-4+k＜0 9-6+k＞0

，
解得-3＜k＜0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是一道綜合題．