Question

10．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為CD和C₁C的中點，則直線AE與D₁F所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{3}{7}$

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AE與D₁F所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則A（2，0，0），E（0，1，0），D₁（0，0，2），F(xiàn)（0，2，1），
$\overrightarrow{AE}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（0，2，-1），
設直線AE與D₁F所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{D}_{1}F}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{{D}_{1}F}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$．
∴直線AE與D₁F所成角的余弦值為$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查兩異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．