Question

設(shè)點A_n（x_n，0），P_n（x_n，2^n-1）和拋物線C_n：y=x²+a_nx+b_n（n∈N*），其中a_n=-2-4n-

1

2n-1

，x_n由以下方法得到：x₁=1，點P₂（x₂，2）在拋物線C₁：y=x²+a₁x+b₁上，點A₁（x₁，0）到P₂的距離是A₁到C₁上點的最短距離，…，點P_n+1（x_n+1，2ⁿ）在拋物線C_n：y=x²+a_nx+b_n上，點A_n（x_n，0）到P_n+1的距離是A_n到C_n上點的最短距離．
（Ⅰ）求x₂及C₁的方程．
（Ⅱ）證明{x_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

（Ⅰ）由題意得A₁（1，0），C₁：y=x²-7x+b₁，
設(shè)點P（x，y）是C₁上任意一點，
則|A₁P|=

(x-1)2+y2

=

(x-1)2+(x2-7x+b1)2

令f（x）=（x-1）²+（x²-7x+b₁）²
則f'（x）=2（x-1）+2（x²-7x+b₁）（2x-7）
由題意得f'（x₂）=0，
即2（x₂-1）+2（x₂²-7x+b₁）（2x₂-7）=0
又P₂（x₂，2）在C₁上，∴2=x₂²-7x₂+b₁
解得x₂=3，b₁=14
故C₁的方程為y=x²-7x+14
（Ⅱ）設(shè)點P（x，y）是C_n上任意一點，
則|A_nP|=

(x-xn)2+y2

=

(x-xn)2+(x2+anx+bn)2

令g（x）=（x-x_n）²+（x²+a_nx+b_n）²
則g'（x）=2（x-x_n）+2（x²+a_nx+b_n）（2x+a_n）
由題意得g'（x_n+1）=0
即2（x_n+1-x_n）+2（x_n+1²+a_nx+b_n）（2x_n+1+a_n）=0
又∵2ⁿ=x_n+1，∴（x_n+1-x_n）+2ⁿ（2x_n+1+a_n）=0（n≥1），
即（1+2ⁿ⁺¹）x_n+1-x_n+2ⁿa_n=0??（*）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明x_n=2n-1，
①當(dāng)n=1時，x₁=1，等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即x_k=2k-1，
則當(dāng)n=k+1時，由（*）知（1+2^k+1）x_k+1-x_k+2^ka_k=0，
又a_k=2-4k-

1

2k-1

，∴x_k+1=

xk-2kak

1+2k+1

=2k+1，
即n=k+1時，等式成立．
由①②知，等式對n∈N^*成立，
故{x_n}是等差數(shù)列．