Question

已知復數(shù)z₁=

3

+i，z₁=

3

+i，

.

z2

.

=2，且z₁•z₂²是虛部為負數(shù)的純虛數(shù)，求復數(shù)z₂．

Answer 1

分析：設出純虛數(shù)z₁•z₂²，表示出z₂，然后求出z22，再設出z₂的代數(shù)形式，平方后利用復數(shù)相等的條件列式求解．

解答：解：設z1•z22=-ai(a∈R+)，則|z1•z22|=a，得a=8．
于是z22=

-8i

3 +i

=-2-2

3

i，
設z₂=x+yi（x，y∈R），則(x+yi)2=-2-2

3

i，
即x2-y2+2xyi=-2-2

3

i．
∴

x2-y2=-2 xy=- 3

，解得

x=1 y=- 3

或

x=-1 y= 3

．
∴z2=1-

3

i或z2=-1+

3

i．

點評：本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)模的求法，訓練了學生靈活處理問題和解決問題的能力，屬基礎題．