Question

已知函數(shù)和點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、．

（Ⅰ）設(shè)，試求函數(shù)的表達(dá)式；

（Ⅱ）是否存在，使得、與三點(diǎn)共線．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對(duì)任意的正整數(shù)，在區(qū)間內(nèi)總存在個(gè)實(shí)數(shù)，，使得不等式成立，求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)的表達(dá)式為．

（Ⅱ）存在，使得點(diǎn)、與三點(diǎn)共線，且 ．

（Ⅲ）的最大值為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，

 ，

 ∴切線的方程為：，

又切線過點(diǎn)，

有，即，  （1）

同理，由切線也過點(diǎn)，得．（2）

由（1）、（2），可得是方程的兩根，

  （ * ）

，

把（ * ）式代入,得,

因此，函數(shù)的表達(dá)式為．

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)、與共線時(shí)，，

＝，即＝，

化簡(jiǎn)，得，

，．    （3）

把（*）式代入（3），解得．

存在，使得點(diǎn)、與三點(diǎn)共線，且 ．

（Ⅲ）解法：易知在區(qū)間上為增函數(shù)，

，

則．

依題意，不等式對(duì)一切的正整數(shù)恒成立，

，

即對(duì)一切的正整數(shù)恒成立．

，

，

．

由于為正整數(shù)，．

又當(dāng)時(shí)，存在，，對(duì)所有的滿足條件．

因此，的最大值為．

解法：依題意，當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度最小時(shí)，

得到的最大值，即是所求值．

，長(zhǎng)度最小的區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，與解法相同分析，得，

解得．            后面解題步驟與解法相同（略）．

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極（最）值，不等式恒成立問題。

點(diǎn)評(píng)：難題，切線的斜率等于函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值。不等式恒成立問題，常常轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題。（III）小題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值），進(jìn)一步確定得到參數(shù)的范圍。