Question

若雙曲線x²-y²=a²（a＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)，若直線PA、PB的傾斜角分別為α，β，且β=kα（k＞1），那么α的值是（　　）

• A、

  π

  2k-1

• B、

  π

  2k

• C、

  π

  2k+1

• D、

  π

  2k+2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（m，n），得直線PA、PB的斜率K_PA和K_PB滿足：K_PA•K_PB=

n2

m2-a2

，由點(diǎn)P是雙曲線x²-y²=a²上的點(diǎn)，得n²=m²-a²，整理得K_PA•K_PB=1．由斜率與傾斜角的關(guān)系，得tanα•tanβ=1，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，得α+β=

π

2

，最后根據(jù)β=α化簡(jiǎn)整理，即可得到本題的答案．

解答： 解：∵雙曲線方程為x²-y²=a²，即

x2

a2

-

y2

a2

=1（a＞0）
∴雙曲線的左頂點(diǎn)為A（-a，0），右頂點(diǎn)為B（a，0）
設(shè)P（m，n），得
直線PA的斜率為K_PA=

n

m+a

；直線PB的斜率為K_PB=

n

m-a

∴K_PA•K_PB=

n2

m2-a2

…（1）
∵P（m，n）是雙曲線x²-y²=a²上的點(diǎn)，
∴m²-n²=a²，得n²=m²-a²，代入（1）式得K_PA•K_PB=1，
∵直線PA、PB的傾斜角分別為α，β，得tanα=K_PA，tanβ=K_PB，
∴tanα•tanβ=1，
∵P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)，得α、β均為銳角
∴α+β=（k+1）α=

π

2

，解之得α=

π

2k+2

，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題給出等軸雙曲線上一點(diǎn)P，求P與兩個(gè)頂點(diǎn)連線的傾斜角之間的一個(gè)關(guān)系式，著重考查了直線的斜率、三角函數(shù)公式和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．