Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，沿對(duì)角線(xiàn)BD把△ABD折起，使A移到A₁點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A₁作A₁O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上．
（1）求證：BC⊥A₁D；
（2）求直線(xiàn)A₁B與平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中A₁O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上我們易得BC⊥A₁O，又由四邊形ABCD為矩形，故BC⊥CD，則根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可得BC⊥面A₁CD．再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)即可得到BC⊥A₁D；
（2）連接BO，則∠A₁BO是直線(xiàn)A₁B與平面BCD所成的角，根據(jù)已知中矩形ABCD中，AB=5，BC=3，及（1）的結(jié)論，解三角形A₁BO即可得到答案．

解答：解：（1）證明：因?yàn)锳₁O⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥A₁O，
因?yàn)锽C⊥CD，A₁O∩CD=O，∴BC⊥面A₁CD．
因?yàn)锳₁D?面A₁CD，∴BC⊥A₁D．（6分）
（2）連接BO，則∠A₁BO是直線(xiàn)A₁B與平面BCD所成的角．
因?yàn)锳₁D⊥BC，A₁D⊥A₁B，A₁B∩BC=B，∴A₁D⊥面A₁BC．A₁C?面A₁BC，∴A₁D⊥A₁C．
在Rt△DA₁C中，A₁D=3，CD=5，∴A₁C=4．
根據(jù)S△A₁CD=

1

2

A₁D•A₁C=

1

2

A₁O•CD，得到A₁O=

12

5

，
在Rt△A₁OB中，sin∠A₁BO=

A1O

A1B

=

\f(12

5

，5)=

12

25

．
所以直線(xiàn)A₁B與平面BCD所成角的正弦值為

12

25

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)及直線(xiàn)與平面所成的角，其中（1）中關(guān)鍵是熟練掌握直線(xiàn)與平面垂直的判定及性質(zhì)，（2）中關(guān)鍵是找出直線(xiàn)與平面所成的角的平面角．