Question

（06年湖南卷文）（14分）

已知橢圓C₁：，拋物線C₂：，且C₁、C₂的公共弦AB過(guò)橢圓C₁的右焦點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)軸時(shí)，求p、m的值，并判斷拋物線C₂的焦點(diǎn)是否在直線AB上；

�。á颍┤�且拋物線C₂的焦點(diǎn)在直線AB上，求m的值及直線AB的方程.

Answer 1

解析：（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以m＝0，直線AB的方程為

    x=1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，－）.

    因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以，即.

    此時(shí)C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上.

   （Ⅱ）解法一　當(dāng)C₂的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.

由消去y得.           ……①

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

則x₁,x₂是方程①的兩根，x₁＋x₂＝.

因?yàn)锳B既是過(guò)C₁的右焦點(diǎn)的弦，又是過(guò)C₂的焦點(diǎn)的弦，

所以，且

.

從而.

所以，即.

解得.

因?yàn)镃₂的焦點(diǎn)在直線上，所以.

即.

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.

解法二　當(dāng)C₂的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程

為.

由消去y得.          　　　　　　　 ……①

因?yàn)镃₂的焦點(diǎn)在直線上，

所以，即.代入①有.

即.                                     ……②

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

則x₁,x₂是方程②的兩根，x₁＋x₂＝.

由消去y得.           　　……③

 

由于x₁,x₂也是方程③的兩根，所以x₁＋x₂＝.

從而＝. 解得.

因?yàn)镃₂的焦點(diǎn)在直線上，所以.

即.

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.

 解法三　設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

因?yàn)锳B既過(guò)C₁的右焦點(diǎn)，又是過(guò)C₂的焦點(diǎn)，

所以.

即.                                         ……①

由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率，　　 ……②

且直線AB的方程是,

所以.                                ……③

又因?yàn)?IMG height=49 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090401/20090401162449036.gif' width=93>，所以.         ……④

將①、②、③代入④得，即.

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；

當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.