Question

求函數y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

的最小值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：函數y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

=

(x-1)2+(0-1)2

+

(x-5)2+(0-2)2

，表示x軸上動點P（x，0）到定點A（1，1）和B（5，2）的距離之和，利用對稱法，將問題轉化為平面上兩點之間線段最短，可得答案．

解答： 解：∵函數y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

=

(x-1)2+(0-1)2

+

(x-5)2+(0-2)2

，
表示x軸上動點P（x，0）到定點A（1，1）和B（5，2）的距離之和，
作點A（1，1）關于x軸的對稱點A′（1，-1），
則動點P（x，0）到定點A（1，1）和B（5，2）的距離之和，
即動點P（x，0）到定點A′（1，-1）和B（5，2）的距離之和，
當A′，P，B三點共線時，距離和最小，
∵|A′B|=

(5-1)2+(2+1)2

=5，
故函數y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

的最小值為5．

點評：本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，其中分析出函數y=

x2-2x+2

+

x2-10x+29

，表示x軸上動點P（x，0）到定點A（1，1）和B（5，2）的距離之和，是解答的關鍵．