Question

已知矩陣M有特征值λ₁=8及對應(yīng)特征向量a₁=[

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]，且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（-2，4）
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）若直線l在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到直線l′：x-2y=4，求直線l方程．

Answer 1

考點(diǎn)：特征值與特征向量的計(jì)算

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法，由二階矩陣M有特征值λ₁=8及對應(yīng)特征向量a₁=[

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]，且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（-2，4）），得到關(guān)于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣M；
（Ⅱ）確定變換前后坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用直線l′：x-2y=4，可求在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)M=

a b c d

，則

a b c d

1 1

=8

1 1

，故

a+b=8 c+d=8

又矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（-2，4）
∴

a b c d

-1 2

=

-2 4

，故

-a+2b=-2 -c+2d=4

聯(lián)立以上兩方程組，解得：a=6，b=2，c=4，d=4，
故M=

6 2 4 4

．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）是直線l上任意一點(diǎn)，它在矩陣M對應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′（x′，y′），
則

6 2 4 4

x y

=

x′ y′

，即

6x+2y=x′ 4x+4y=y′

∵點(diǎn)P′（x′，y′）在直線l′：x-2y=4上，∴有：x′-2y′=4，
把x′，y′代人得：x+3y+2=0．
故所求直線l的方程為：x+3y+2=0．…（7分）

點(diǎn)評：本題主要考查矩陣變換的應(yīng)用，考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．