Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足，且

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式

（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:

（3）設(shè)數(shù)列滿足（），若數(shù)列是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

 (1)∵n＝1時(shí)，a1＋S1＝a1＋a1＝2， ∴a1＝1.

∵Sn＝2－an，即an＋Sn＝2，  ∴an＋1＋Sn＋1＝2.

兩式相減：an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0.

即an＋1－an＋an＋1＝0    故有2an＋1＝an，∵an≠0，∴＝

∴an＝n－1.                               

∵bn＋1＝bn＋an(n＝1,2,3，…)，        ∴bn＋1－bn＝n－1.                                 

得b2－b1＝1，b3－b2＝，b4－b3＝2，bn－bn－1＝n－2(n＝2,3，…)．

將這n－1個(gè)等式相加，得

bn－b1＝1＋＋2＋3＋…＋n－2＝＝2－n－2.

又∵b1＝1，∴bn＝3－n－2(n＝1,2,3…)．            

(2)證明：∵cn＝n(3－bn)＝2nn－1.

∴Tn＝2.①

而Tn＝2.②

①－②得

Tn＝2－2×n×n.

Tn＝4×－4×n×n＝8－－4×n×n

＝8－(n＝1,2,3，…)．                      

∴Tn＜8.                                         

（3）由（1）知

由數(shù)列是遞增數(shù)列，∴對(duì)恒成立，

即

恒成立，

即恒成立，              

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即恒成立，∴，        

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，即恒成立，∴，      

綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為