已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-數(shù)學公式（k為常數(shù)）
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）求證不等式數(shù)學公式在x∈（0，1）時恒成立．

解：（1）f（x）的定義域為（-1，+∞）（1分）
f'（x）=（2分）
令f'（x）＞0得：x＞k-1
當k-1≤-1即k≤0時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（-1，+∞）（3分）
當k-1＞-1即k＞0時，f（x）的單調遞減區(qū)間是（-1，k-1），f（x）的單調遞增區(qū)間是（k-1，+∞）（5分）
（2）當x∈（0，1）時，原不等式等價于ln（x+1）＞2．
令g（x）=ln（x+1）+（7分）
∵x∈（0，1）∴g'（x）＞0恒成立
∴g（x）在（0，1）是單調遞增（9分）
∴g（x）＞g（0）=2
∴g（x）＞2在（0，1）上恒成立
故原不等式在區(qū)間（0，1）上恒成立．（12分）
分析：（1）求出函數(shù)的定義域，求出導函數(shù)，令導函數(shù)大于0，求出x的范圍，通過討論x的范圍與定義域的關系，求出遞增區(qū)間和遞減區(qū)間
（2）通過構造函數(shù)g（x），利用導函數(shù)研究g（x）的單調性，利用函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最小值，不等式得證．
點評：本題考查利用導函數(shù)求函數(shù)的單調性、利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最值、通過構造函數(shù)證明不等式、分類討論的數(shù)學思想方法在解題中的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調遞減，在（
6
，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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