【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,點在棱上,且.
(1)證明:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析,(2)
【解析】
(1)作交于,通過證明四邊形為平行四邊形可得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;
(2)以為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系,利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.
(1)由題意知:是等腰直角三角形,,則
作交于,連接
又,,
四邊形為平行四邊形
又平面,平面 平面
(2)由底面,可得,
又,可知兩兩互相垂直
以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則,,,,,
,,,
設(shè)平面的法向量為
則,令,得, ;
設(shè)平面的法向量為
則,令,得,
設(shè)平面與平面所成銳二面角為,則
平面與平面所成銳二面角的余弦值等于
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【題目】設(shè)是等差數(shù)列,公差為,前項和為.
(1)設(shè),,求的最大值.
(2)設(shè),,數(shù)列的前項和為,且對任意的,都有,求的取值范圍.
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【題目】如圖,已知是圓的直徑,,在圓上且分別在的兩側(cè),其中,.現(xiàn)將其沿折起使得二面角為直二面角,則下列說法不正確的是( )
A.,,,在同一個球面上
B.當(dāng)時,三棱錐的體積為
C.與是異面直線且不垂直
D.存在一個位置,使得平面平面
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【題目】在等比數(shù)列{an}中,an>0 (n∈N ),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,又a3與a5的等比中項為2.
(1) 求數(shù)列{an}的通項公式;
(2) 設(shè),數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,當(dāng)最大時,求n的值.
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【題目】某機構(gòu)組織的家庭教育活動上有一個游戲,每次由一個小孩與其一位家長參與,測試家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度.在每一輪游戲中,主持人給出A,B,C,D四種食物,要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對其排序,然后由家長猜測小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對四種食物排除的序號依次為xAxBxCxD,家長猜測的序號依次為yAyByCyD,其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1,2,3,4四個數(shù)字的一種排列.定義隨機變量X=(xA﹣yA)2+(xB﹣yB)2+(xC﹣yC)2+(xD﹣yD)2,用X來衡量家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度.
(1)若參與游戲的家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.
(ⅰ)求他們在一輪游戲中,對四種食物排出的序號完全不同的概率;
(ⅱ)求X的分布列(簡要說明方法,不用寫出詳細計算過程);
(2)若有一組小孩和家長進行來三輪游戲,三輪的結(jié)果都滿足X<4,請判斷這位家長對小孩飲食習(xí)慣是否了解,說明理由.
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【題目】某市房管局為了了解該市市民年月至年月期間買二手房情況,首先隨機抽樣其中名購房者,并對其購房面積(單位:平方米,)進行了一次調(diào)查統(tǒng)計,制成了如圖所示的頻率分布直方圖,接著調(diào)查了該市年月至年月期間當(dāng)月在售二手房均價(單位:萬元/平方米),制成了如圖所示的散點圖(圖中月份代碼分別對應(yīng)年月至年月).
(1)試估計該市市民的購房面積的中位數(shù);
(2)從該市年月至年月期間所有購買二手房中的市民中任取人,用頻率估計概率,記這人購房面積不低于平方米的人數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望;
(3)根據(jù)散點圖選擇和兩個模型進行擬合,經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程,分別為和,并得到一些統(tǒng)計量的值如下表所示:
請利用相關(guān)指數(shù)判斷哪個模型的擬合效果更好,并用擬合效果更好的模型預(yù)測出年月份的二手房購房均價(精確到)
(參考數(shù)據(jù)),,,,,,.
(參考公式).
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