Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的-個(gè)“好區(qū)間”．給出下列4個(gè)函數(shù)：
①f（x）=sinx；
②f（x）=|2^x-1|；
③f（x）=x³-3x；
④f（x）=lgx+l．
其中存在“好區(qū)間”的函數(shù)是______．  （填入相應(yīng)函數(shù)的序號(hào)）

Answer 1

①函數(shù)f（x）=sinx在[-

π

2

，

π

2

]上是單調(diào)增函數(shù)，若函數(shù)在[-

π

2

，

π

2

]上存在“好區(qū)間”[a，b]，
則必有sina=a，sinb=b．
即方程sinx=x有兩個(gè)根，令g（x）=sinx-x，g^′（x）=cosx-1≤0在[-

π

2

，

π

2

]上恒成立，
所以函數(shù)g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上為減函數(shù)，則函數(shù)g（x）=sinx-x在[-

π

2

，

π

2

]上至多有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程sinx=x在[-

π

2

，

π

2

]上不可能有兩個(gè)解，又因?yàn)閒（x）的值域?yàn)閇-1，1]，所以當(dāng)x＜-

π

2

或x＞

π

2

時(shí)，
方程sinx=x無解．
所以函數(shù)f（x）=sinx沒有“好區(qū)間”；
②對(duì)于函數(shù)f（x）=|2^x-1|，該函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)我們易得，M=[0，1]時(shí)，
f（x）∈[0，1]=M，所以M=[0，1]為函數(shù)f（x）=|2^x-1|的一個(gè)“好區(qū)間”；
③對(duì)于函數(shù)f（x）=x³-3x，f^′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）．
當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f^′（x）0．
所以函數(shù)f（x）=x³-3x的增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞），減區(qū)間是（-1，1）．
取M=[-2，2]，此時(shí)f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2．
所以函數(shù)f（x）=x³-3x在M=[-2，2]上的值域也為[-2，2]，則M=[-2，2]為函數(shù)的一個(gè)“好區(qū)間”；
④函數(shù)f（x）=lgx+1在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，若有“好區(qū)間”
則lga+1=a，lgb+1=b，也就是函數(shù)g（x）=lgx-x+1有兩個(gè)零點(diǎn)．
顯然x=1是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，
由g′(x)=

1

xln10

-1＜0，得x＞

1

ln10

，函數(shù)g（x）在(

1

ln10

，+∞)上為減函數(shù)；
g′(x)=

1

xln10

＞0，得x＜

1

ln10

．函數(shù)在（0，

1

ln10

）上為增函數(shù)．
所以g（x）的最大值為g（

1

ln10

）＞g（1）=0，
則該函數(shù)g（x）在（0，

1

ln10

）上還有一個(gè)零點(diǎn)．
所以函數(shù)f（x）=lgx+1存在“好區(qū)間”．
故答案為②③④．