Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1= ，an+1=10an+1．
（1）證明數(shù)列{an+ }是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{bn}滿足bn=lg（an+ ），Tn為數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和，求證：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=10an+1得an+1+ =10an+ =10（an+ ），

∴ =10，

∴數(shù)列{an+ }是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1+ =100，公比為10，

∴an+ =100×10n﹣1=10n+1，

所以an=10n+1﹣ ．

（2）解：由（1）可得：bn=lg（an+ ）=lg10n+1=n+1，

∴ = = ﹣ ，

∴Tn=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）++（ ﹣ ）= ﹣ ＜ ，

∴Tn＜ ．

【解析】（1）由題意可知：構(gòu)造等比數(shù)列，an+1+ =10an+ =10（an+ ），則數(shù)列{an+ }是以100為首項(xiàng)，10為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知bn=lg（an+ ）=n+1，利用“裂項(xiàng)法”即可求得Tn，即可求得Tn＜ ．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．