Question

已知f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a （a∈R，a為常數(shù)）
（Ⅰ） 若x∈R，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ） 若x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4，并求此時f（x）的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a
=cos2x+

3

sin2x+a+1
=2 sin（2x+

π

6

）+a+1，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．…（6分）
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為4
∴

π

6

≤2x+

π

6

=u≤

7π

6

∴f（x）在[

π

6

，

π

2

]單調(diào)遞增，在（

π

2

，

7π

6

]單調(diào)遞減
∴f（x）_max=2+a+1=4，
∴a=1．…（9分）
故：當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時，
f（x）_min=2×（-

1

2

）+1+1=1…（12分）