Question

定義，

（Ⅰ）令函數(shù)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線C：的切線，切點(diǎn)為P（n>0），設(shè)曲線C與及y軸圍成圖形的面積為S，求S的值。

（Ⅱ）令函數(shù),討論函數(shù)是否有極值，如果有，說明是極大值還是極小值。

（Ⅲ）證明：當(dāng)

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，有極小值，沒有極大值（Ⅲ）見解析

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，以及定積分的綜合運(yùn)用。

（1） ，

，，

曲線C與y軸交點(diǎn)為A（0，1）

又過坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C作切線，切點(diǎn)為P（n，t）（n>0），

，切線方程為

（2），。

，

那么對(duì)于參數(shù)a分類討論得到單調(diào)性得到極值。

（3）令

又令 

兩次構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到結(jié)論。解：（Ⅰ） ，

，，

曲線C與y軸交點(diǎn)為A（0，1）……………1分

又過坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C作切線，切點(diǎn)為P（n，t）（n>0），

，切線方程為…………3分

           ………………5分

（Ⅱ），。

    ………………6分

1）。當(dāng)即時(shí)，（），

在單調(diào)遞增從而沒有極值；  ………………7分

2）。當(dāng)即時(shí)，方程有二個(gè)不等實(shí)根

，， 

若，則，，

在單調(diào)遞增從而沒有極值；  ………………8分

若，則。當(dāng)；當(dāng)

當(dāng)時(shí)，有極小值，沒有極大值。  ………………9分

（Ⅲ）令，…………10分

又令 ，

單調(diào)遞減.……………………11分

單調(diào)遞減，………………12分

，

………………14分