Question

已知y=f（x）定義在R上的單調(diào)函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x、y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且（n∈N^*）．
（Ⅰ）求通項公式a_n的表達式；
（Ⅱ）令，S_n=b₁+b₂+…+b_n，，試比較S_n與的大小，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令y=0，x＜0，得f（x）[1-f（0）]=0，由x＜0，f（x）＞1，知a₁=f（0）=1，由遞推關(guān)系知f（a_n+1-2-a_n）=f（0），由此能夠推導(dǎo)出a_n．
（Ⅱ）由=，知=，=，所以，欲比較S_n與的大小，只需比較4ⁿ與2n+1的大�。�
解答：解：（Ⅰ）由題意，令y=0，x＜0，得f（x）[1-f（0）]=0，
∵當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，∴a₁=f（0）=1…（2分）
由遞推關(guān)系知f（a_n+1）•f（-2-a_n）=1，即f（a_n+1-2-a_n）=f（0），
∵f（x）在R上單調(diào)，∴a_n+1-a_n=2，（n∈N*），…（4分）
又a₁=1，∴a_n=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）=，
∴=，=，…（10分），
∴欲比較S_n與的大小，只需比較4ⁿ與2n+1的大小．…（11分）
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=C_n+C_n¹•3+…+C_nⁿ•3ⁿ≥1+3n＞2n+1，…（13分）
∴S_n＞．…（14分）
點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法和比較S_n與的大小．解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．