Question

【題目】已知函數(shù)， （為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)時，求的最小值；

（Ⅱ）若函數(shù)恰有兩個不同極值點．

①求的取值范圍；

②求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） ，②見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出，令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得的最小值；（Ⅱ）①恰有兩個極值點，等價于在上恰有兩個不同零點，當(dāng)時， 在恒成立， 在上單調(diào)遞減，不合要求；當(dāng)時，研究函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理可得的取值范圍，②不妨設(shè)，則有： ，可得，令，原不等式等價于， ，驗證函數(shù)的最大值小于零即可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ） ， ， ，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，

即時，恒有，

故在上單調(diào)遞增， ．

（Ⅱ），要恰有兩個極值點，

等價于在上恰有兩個不同零點．

，

當(dāng)時， 在恒成立， 在上單調(diào)遞減，不合要求；

當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

而，由，

∴， ，

此時， ，

故當(dāng)時， 在與上各恰有一個零點，

即當(dāng)時函數(shù)有兩個極值點．

另法：考查

②不妨設(shè)，則有： ，兩式相加與相減得： ，

，而，

，令，

， ， ，

考查函數(shù)， ， 恒成立于，

在上單調(diào)遞增，則恒有．

即， 成立，

故命題得證．