設函數(shù)

                        （1）當時，求的極值；

                        （2）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

    （3）當時，對任意的正整數(shù)，在區(qū)間上總有個數(shù)使得成立，試求正整數(shù)的最大值。

 

【答案】

（1）函數(shù)的定義域為  ……………………………………1分

當時，，∴ ………………2分

由得 隨變化如下表：

—

0

+

↘

極小值

↙

故，，沒有極大值． …………………………4分

（2）由題意，

令得， ………………………………………………6分

若，由得；由得 …………7分

若，①當時，，或，；，

②當時，

③當時，或,;，

綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為

 ……………………………………………………………………10分

（3）當時，

∵，∴  ∴，

  ………………………………………………12分

由題意，恒成立。

令，且在上單調(diào)遞增，

，因此，而是正整數(shù)，故，

所以，時，存在，時，對所有滿足題意，∴

【解析】略

 

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設函數(shù)

（1）當時，求的最大值；

（2）令，（），其圖象上任意一點處切線的斜率≤恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當，，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值．

 

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