Question

7．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，5]，部分對(duì)應(yīng)值如表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，下列關(guān)于函數(shù)f（x）的命題：

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

（1）函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在（0，2）上是減函數(shù)；
（3）如果當(dāng)x∈[-1，t]時(shí)，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
（4）當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=f（x）-a有4個(gè)零點(diǎn)．
其中真命題的個(gè)數(shù)有（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 先由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系畫(huà)出原函數(shù)的大致圖象，再借助與圖象和導(dǎo)函數(shù)的圖象，對(duì)四個(gè)命題，一一進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)于假命題采用舉反例的方法進(jìn)行排除即可得到答案．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-1，5]，部分對(duì)應(yīng)值如表，
f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示：
由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系得，原函數(shù)的大致圖象如圖：
由圖得：∵函數(shù)的定義域?yàn)殚]區(qū)間，而周期函數(shù)的定義域一定是無(wú)界的，
故①為假命題；
②為真命題．因?yàn)樵赱0，2]上導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，故原函數(shù)遞減；
由已知中y=f′（x）的圖象，及表中數(shù)據(jù)可得當(dāng)x=0或x=4時(shí)，
函數(shù)取最大值2，
若x∈[-1，t]時(shí)，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即③錯(cuò)誤；
∵函數(shù)f（x）在定義域?yàn)閇-1，5]共有兩個(gè)單調(diào)增區(qū)間，兩個(gè)單調(diào)減區(qū)間，
故函數(shù)y=f（x）-a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè)，即④錯(cuò)誤，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系．二者之間的關(guān)系是：導(dǎo)函數(shù)為正，原函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，原函數(shù)遞減，屬于中檔題．