Question

若整數(shù)m滿足不等式，則稱m為x的“親密整數(shù)”，記作{x}，即{x}=m，已知函數(shù)f（x）x-{x}．給出以下四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（x），x∈R是周期函數(shù)且其最小正周期為1；
②函數(shù)y=f（x），x∈R的圖象關(guān)于點(diǎn)（k，0），k∈Z中心對(duì)稱；
③函數(shù)y=f（x），x∈R在上單調(diào)遞增；
④方程在[-2，2]上共有7個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
其中正確命題的序號(hào)是    ．（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

【答案】分析：先通過歸納得出：{x}=m表示對(duì)x進(jìn)行四舍五入后的整數(shù)，再在同一坐標(biāo)系里作出函數(shù)f（x）=x-{x}和，x結(jié)合圖象討論四個(gè)命題的正確與否，由此可得本題的正確答案．
解答：解：當(dāng)-＜x時(shí)，滿足不等式的“親密整數(shù)”m=0，
當(dāng)＜x時(shí)，滿足不等式的“親密整數(shù)”m=1，…，
歸納得出：{x}=m表示對(duì)x進(jìn)行四舍五入后的整數(shù)，
從而作出函數(shù)f（x）=x-{x}的圖象，是一些左開右閉的線段組成．如圖，

由圖象可得：
①函數(shù)y=f（x），x∈R是周期函數(shù)且其最小正周期為1；正確；
②函數(shù)y=f（x），x∈R的圖象不關(guān)于點(diǎn)（k，0），k∈Z中心對(duì)稱；不正確；
③函數(shù)y=f（x），x∈R在上不是單調(diào)遞增，因f（-）=1，f（）=1；故③錯(cuò)誤；
④方程在[-2，2]上共有7個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，正確．
其中正確命題的序號(hào)是 ①④．
故答案為：①④．
點(diǎn)評(píng)：本題以三角函數(shù)和新定義的函數(shù)為例，考查了函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性、函數(shù)零點(diǎn)與方程根的個(gè)數(shù)的討論等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．采用數(shù)形結(jié)合法，是解決本題的關(guān)鍵．