Question

2．已知點(diǎn)A，B，C在圓x²+y²=1上運(yùn)動，且AB⊥BC，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（\frac{8}{3}\;，\;2）$，則$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}|$的取值范圍為（　�。�

• A． [8，10]
• B． [9，11]
• C． [8，11]
• D． [9，12]

Answer 1

分析 由AB⊥BC可知AC為直徑，故而$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$，設(shè)B（cosα，sinα），利用坐標(biāo)計(jì)算|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$|²即可得出最值．

解答 解：∵AB⊥BC，∴AC是單位圓的直徑，
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$=（-$\frac{16}{3}$，-4），
設(shè)B（cosα，sinα），則$\overrightarrow{PB}$=（cosα-$\frac{8}{3}$，sinα-2），
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=（cosα-8，sinα-6），
∴|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$|²=（cosα-8）²+（sinα-6）²=101-16cosα-12sinα=101-20sin（α+φ），
∴當(dāng)sin（α+φ）=1時，|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$|取得最小值$\sqrt{101-20}$=9，
當(dāng)sin（α+φ）=-1時，|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$|取得最大值$\sqrt{101+20}$=11．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．