Question

若方程x²+y²+2ax-2ay=0表示圓，下列敘述中：
①關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱；
②其圓心在x軸上且過(guò)原點(diǎn)；
③其圓心在y軸上且過(guò)原點(diǎn)；
④半徑為

2

|a|．
其中敘述正確的是

①④

．（填上所有正確的序號(hào)）

Answer 1

分析：將方程化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x+a）²+（y-a）²=2a²，所以圓心為C（-a，a），半徑r滿足r²=2a²＞0．再利用圓的性質(zhì)，對(duì)各項(xiàng)分別加以分析判斷，即可得到正確答案．

解答：解：∵方程x²+y²+2ax-2ay=0表示圓，
∴化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得（x+a）²+（y-a）²=2a²，
此圓的圓心為C（-a，a），半徑r滿足r²=2a²＞0，
對(duì)于①，因?yàn)閳A心C坐標(biāo)為（-a，a），滿足x+y=0
∴圓心C在直線x+y=0上，可得已知圓關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，得①正確；
對(duì)于②，若圓心在x軸上則a=0，與方程表示圓矛盾，故②不正確；
對(duì)于③，若圓心在y軸上則a=0，與②同理得方程不能表示圓，故③不正確；
對(duì)于④，因?yàn)榘霃絩滿足r²=2a²＞0，所以r=

2

|a|，可得④正確
綜上所述，①④正確而②③不正確
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有字母參數(shù)的圓方程，判斷幾個(gè)命題的真假．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)程、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．