Question

若函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函數(shù)，且f(x)_極小值＝f(－)＝－．

（1）求函數(shù)f(x)的解析式；

（2）求函數(shù)f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；

（3）設(shè)函數(shù)g(x)＝，若不等式g(x)·g(2k－x)≥(－k)²在(0，2k)上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

f(x)＝－x³＋x ，f(x)_max＝ ，(0，)]．

解析:

解：（1）函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函數(shù)，則b＝d＝0，

　　　　　　∴f ^/(x)＝3ax²＋c，則

　故f(x)＝－x³＋x；………………………………3分

　　　（2）∵f ^/(x)＝－3x²＋1＝－3(x＋)(x－)

　　∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是

增函數(shù)，在[－，]上是減函數(shù)，

由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　

如圖所示，

　　　　　　當(dāng)－1＜m＜0時(shí)，

f(x)_max＝f(－1)＝0；

當(dāng)0≤m＜時(shí)，f(x)_max＝f(m)＝－m³＋m，

當(dāng)m≥時(shí)，f(x)_max＝f()＝．

　　　　　　故f(x)_max＝．………………8分

　　　　（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，則x、y∈R^＋，且2k＝x＋y≥2，

　　　　　　　又令t＝xy，則0＜t≤k²，

　　　　　　　故函數(shù)F(x)＝g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－

             �。剑�xy－＝＋t＋2，t∈(0，k²]

　　　　　　　當(dāng)1－4k²≤0時(shí)，F(x)無(wú)最小值，不合

　　　　　　　當(dāng)1－4k²＞0時(shí)，F(x)在(0，]上遞減，在[，＋∞)上遞增，

　　　　　　　且F(k²)＝(－k)²，∴要F(k²)≥(－k)²恒成立，

　　　　　　必須，

　　　　　　故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0，)]．………………12分