Question

已知函數(shù)f（x）=

3x+a

x+2

在區(qū)間（-2，+∞）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：解法一：由題意可得，當(dāng)x＞-2時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＜0，解此不等式求得a的范圍．
解法二：設(shè)x₂＞x₁＞-2，則由題意可得f（x₂）-f（x₁）＜0，由此求得a的范圍．
解法三：化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式為3+

a-6

x+2

，要使函數(shù)f（x）=

3x+a

x+2

在區(qū)間（-2，+∞）上單調(diào)遞減，則有a-6＞0，由此解得a的范圍．

解答：解：解法一：∵函數(shù)f（x）=

3x+a

x+2

在區(qū)間（-2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f′（x）=

6-a

(x+2)2

 在區(qū)間（-2，+∞）上小于零，∴a＞6，
故答案為：（6，+∞）．
解法二：設(shè)x₂＞x₁＞-2，則由題意可得f（x₂）-f（x₁）=

3x2+a

x2+2

-

3x1+a

x1+2

=

(x1+2)(3x2+a)-(x2+2)(3x1+a)

(x2+2)(x1+2)

=

(x1-x2)(a-6)

(x2+2)(x1+2)

＜0，
而由題設(shè)可得，x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，∴a-6＞0，
解法三：∵f（x）=

3x+a

x+2

=

3(x+2)+a-6

x+2

=3+

a-6

x+2

，
要使函數(shù)f（x）=

3x+a

x+2

在區(qū)間（-2，+∞）上單調(diào)遞減，
則a-6＞0，解得a＞6．
故答案為：（6，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性的怕斷和證明，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．