Question

（2012•孝感模擬）已知f（x）=（2

3

cos

x

2

+2sin

x

2

）cos

x

2

．
（I）求f（

17π

12

）的值；
（II）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若f（c）=

3

+1，且b²=ac，求sinA的值．

Answer 1

分析：（I）利用多項式乘以單項式的法則將函數(shù)解析式化簡，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，然后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的余弦函數(shù)，將x=

17π

12

代入化簡后的式子中計算，即可得到所求的函數(shù)值；
（II）由第一問求出的函數(shù)解析式及f（C）=

3

+1，求出cos（C-

π

6

）的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C為直角，得到三角形ABC為直角三角形，利用勾股定理得到c²=a²+b²，再將b²=ac代入，整理后得到關(guān)于

a

c

的芙蓉城，求出方程的解得到

a

c

的值，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出sinA的值．

解答：解：（I）f（x）=（2

3

cos

x

2

+2sin

x

2

）cos

x

2

=2

3

cos²

x

2

+2sin

x

2

cos

x

2

=

3

（1+cosx）+sinx
=

3

cosx+sinx+

3

=2cos（x-

π

6

）+

3

，
則f（

17π

12

）=2cos（

17π

12

-

π

6

）+

3

=2cos

5π

4

+

3

=

3

-

2

；
（II）∵f（C）=

3

+1，
∴2cos（C-

π

6

）+

3

=

3

+1，即cos（C-

π

6

）=

1

2

，
又C為三角形的內(nèi)角，
∴C=

π

2

，又b²=ac，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：c²=a²+b²=a²+ac，
∴（

a

c

）²+

a

c

-1=0，
解得：

a

c

=

-1± 5

2

，
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=

a

c

=

5 -1

2

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，勾股定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．