Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處切線的斜率為3，數(shù)列{

1

f(n)

}的前n項(xiàng)和為s_n，則s₂₀₀₀的值為

 

．

Answer 1

分析：先由函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處切線的斜率為3，求出b，進(jìn)而求出數(shù)列{

1

f(n)

}的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消求和法求其和即可．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x²+bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處切線的斜率為3，
所以有f'（1）=2×1+b=3?b=1．
∴f（n）=n²+n?

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴s₂₀₀₀=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2000

-

1

2001

=1-

1

2001

=

2000

2001

．
故答案為：

2000

2001

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵在于利用函數(shù)f（x）=x²+bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處切線的斜率為3，求出b，進(jìn)而求出數(shù)列{

1

f(n)

}的通項(xiàng)，并且考查了裂項(xiàng)相消求和法．