Question

已知圓的方程為x²+y²-6x-8y=0；a₁，a₂，…，a₁₁是該圓過點（3，5）的11條弦的長，若數(shù)列a₁，a₂，…，a₁₁是等差數(shù)列，則數(shù)列a₁，a₂，…，a₁₁的公差的最大值為

 

．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標準方程后，找出圓心坐標與圓的半徑，當a₁為最短的一條弦，a₁₁為最長的一條弦時，數(shù)列a₁，a₂，…，a₁₁的公差達到最大，根據(jù)圖形求出最短的弦長得到數(shù)列首項a₁的值，最長的弦為圓的直徑，由直徑的值即可得到a₁₁的值，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知a₁₁減去a₁的值等于10倍的公差d，列出關于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的最大值．

解答：解：把圓的方程化為標準方程得：（x-3）²+（y-4）²=25，
所以圓心A（3，4），圓的半徑r=5，
根據(jù)題意畫出圖象，如圖所示：
得到弦DE為過點F（3，5）最長的弦即為圓的直徑等于10，則a₁₁=10，
弦BC為過點F（3，5）最短的弦，又|AB|=5，|AF|=1，
則|BC|=2|BF|=2

52-1

=4

6

，即a₁=4

6

，
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：10d=10-4

6

，解得d=1-

2 6

5

．
則數(shù)列a₁，a₂，…，a₁₁的公差的最大值為1-

2 6

5

．
故答案為：1-

2 6

5

點評：此題考查學生靈活運用垂徑定理及勾股定理化簡求值，要求學生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，是一道中檔題．找出最長的弦和最短的弦是求最大公差的關鍵．