Question

（03年上海卷）（14分）

在以O為原點的直角坐標系中，點A（4，－3）為△OAB的直角頂點.已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于零.

   （1）求向量的坐標；

   （2）求圓關于直線OB對稱的圓的方程；

   （3）是否存在實數a，使拋物線上總有關于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍.

Answer 1

解析：（1）設得

  

   所以v－3>0,得v=8,故={6，8}.

（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直線OB方程：

由條件可知圓的標準方程為：(x－3)²+y(y+1)²=10, 得圓心（3，－1），半徑為.

設圓心（3，－1）關于直線OB的對稱點為（x ,y）則

故所求圓的方程為(x－1)²+(y－3)²=10.

（3）設P (x₁,y₁), Q (x₂,y₂) 為拋物線上關于直線OB對稱兩點，則

故當時，拋物線y=ax²－1上總有關于直線OB對稱的兩點.